Текст урока с работающими фрагментами расчетов в файле uroki-approksimacii.xls
Для следующей иллюстрации особенностей аппроксимации функций возьмем более короткий пример – работающие варианты фрагментов см. в файле Уроки аппроксимации.xls, Лист3.
Задача: есть утвержденная таблица результатов расчета удельных расходов тепла, полученных на модели турбоагрегата, при номинальных параметрах рабочего режима турбины; требуется аппроксимировать эти результаты с минимальной погрешностью.
Таблица находится на Листе3б: колонки Nt, МВт, и qtbr, ккал/кВтч.
В данном случае, мы имеем достаточное количество знаков и не рисовали синусоид в обрабатываемых данных. Поэтому можем заняться проблемой аппроксимации функций в так сказать чистом виде.
Для начала опробуем классического вида полином достаточно высокой, пятой, степени:
qtbr=a+b1*Nt+b2*Nt^2+b3*Nt^3+b4*Nt^4+b5*Nt^5
Среднее квадратическое отклонение, которое мы для краткости будем обозначать dy, получилось на неприемлемом для нашей задачи уровне dy=1.6 ккал/кВтч.
Далее мы пробовали разные виды полиномов, в том числе полином с с варьируемой степенью последнего члена. При всех наших ухищрениях не удалось достигнуть значений dy<0.81 ккал/кВтч и dymax<1.3 ккал/кВтч.
В то же время полином довольно успешно аппроксимирует функцию до нагрузки 199.3 МВт с dy и dymax 0.06 и 0.08 ккал/кВтч. Правда, вид полинома с варьируемой степенью последнего члена получился не совсем обычным:
qtbr=a+b1*Nt^5+b2*Nt^10+b3*Nt^15+b4*Nt^20+b5*Nt^0.2
но это проблема конкретного случая, а не аппроксимации функций. Однако в данном конкретном случае надо разобраться почему аппроксимация функции оказалась эффективной только в диапазоне Nt не более 199.3 МВт.
Для того чтобы разобраться с проблемой обратимся для начала к графику функции qtbr=f(Nt):
В точке Nt=199.3 МВт происходит резкое изменение характера аппроксимируемой функции. В этой же точке по технологии работы турбины при номинальных параметрах температур и давлений пара начинаестся открытие второго клапана в регулирующей ступения цилиндра высокого давления. Здесь, как говорится в поговорке: ясно, как день. Однако, когда возник вопрос: "А что, там где Гагарин летал, там день или ночь?" то пришлось разбираться с вопросом, который казался ясным до тех пор, пока плоскость вопроса стала не совсем обычной.
Так и в нашем случае возникла необходимость уточнения одного из понятий относительно того, что можно считать аналитическим способом задания аппроксимируемой функции. В математическом словаре, о котором уже шла речь, под таким способом понимается задание функции посредством формулы - без каких-либо уточнений и оговорок. Но в формуле, в которой используется логическое условие, можно при определенном старании объединить весьма разнородные процессы: скажем, охоту на зайцев и запуск ракетных кораблей. Вряд ли подобная свобода в определении аналитического способа задания аппроксимируемой функции окажется для нас продуктивной.