Текст урока с работающими фрагментами расчетов в файле uroki-approksimacii.xls
Как сказано на предыдущем уроке: полиномы - плохая вещь, если их использовать без всяких ухищрений. А "ухищрение" может быть, например, такое: вместо классического полинома из предыдущего урока
i"nas=a+b1*P+b2*P^2+b3*P^3+b4*P^4+b5*P^5+b6*P^6+b7*P^7+b8*P^8
построим аналогичный полином, но от другой степени P:
i"nas=a+b1*P^0.28+b2*P^0.56+b3*P^0.84+b4*P^1.12+b5*P^1.4+b6*P^1.68+b7*P^1.96+b8*P^2.24
Этот и дальнейшие примеры можно проследить по файлу Уроки аппроксимации.xls, Лист 2.
То есть, полином на этот раз мы построили не от P, а от P^0.28. В результате максимальная ошибка аппроксимации резко уменьшилась до 0.05 ккал/кг, а диапазон аппроксимации расширился многократно – до 160 кгс/см2. Выбранная дробная степень полинома оказалась более адекватной структуре аппроксимируемых данных, чем "классический" полином, что и привело к резкому уменьшению ошибки аппроксимации при одновременном столь же существенном расширении аппроксимируемого диапазона. Для другой структуры данных более подходящим мог оказаться, например, полином вида:
y=a+b1*x^2+b2*x^4+b3*x^6+...bn*x^(2*n) и т.п.
Единых рецептов по выбору оптимального вида полиномов и аппроксимирующих формул в целом нет. Во всяком случае, мы их не знаем и к каждой очередной задаче ищем индивидуальный подход.
В заключение нашего фрагмента о полиномах приводим формулу для диапазона 0.01--200 кгс/см2:
i"nas=561.77+117.0703*P^0.2-56.29382*P^0.4+23.67433*P^0.7-8.88376*P+1.553135*P^1.3-0.07550402*P^1.7+0.001600962*P^2-8.37595*(P/200)^13.5
Максимальная ошибка аппроксимации по этой формуле чуть больше максимальной ошибки округления - 0.05 ккал/кг.
"Трюк" в данном случае заключался в том, что последний член предыдущего полинома мы пустили "в свободное плавание", то есть подобрали его таким образом, чтобы полином в целом лучше отвечал аппроксимируемым данным, что контролировалось по dy и dymax. Затем немного округлили показатели степеней при других членах полинома, следя при этом, чтобы качество аппроксимации в результате такого округления не ухудшалось.
Здесь, при выборе наиболее подходящей структуры полинома, мы использовали показатели dy и dymax, то есть среднюю и максимальную ошибку аппроксимации, для контроля адекватности аппроксимирующей модели структуре аппроксимируемых данных, чем и был обеспечен успех построения аппроксимации в данном конкретном эпизоде.