Жизнь — это искусство делать верные выводы из неверных посылок. Сэмюэл Батлер
Загадка эффективности математики обсуждается в научных публикациях и сайтах интернета: http://ngpu-philosophy.narod.ru/mat.htm
Я излагаю фрагмент в сокращенном виде:
Немалые успехи математики в описании физически реальных явлений требуют какого-то объяснения, почему математика эффективна и при описании тех физических явлений, которые непонятны для нас.
Даже если математические структуры сами по себе не отражают реальности физического мира, их тем не менее можно считать единственным ключом к познанию реальности. Неевклидова геометрия не только не подорвала доверия к эффективности математики в этом отношении, но, напротив, как это ни парадоксально, способствовала расширению ее приложений во многих областях человеческой деятельности.
На вопрос "Почему математика «работает», почему она эффективна?" было предложено несколько различных ответов. Некоторые полагают, будто математики «подбирают» аксиомы так, чтобы выводимые из них следствия согласовывались с опытом. Эту идею впервые высказал Дидро в своей работе «Мысли об интерпретации природы» (1753). Великий мыслитель сравнивал математика с игроком. И тот и другой играют, придерживаясь ими же придуманных абстрактных правил.
Подобным образом действуют и создатели современных математических моделей. Берется одна из возможных моделей и сверяется с опытом. Если математическая модель оказывается не эффективной, то к ней подбираются подходящие изменения. Тем не менее, когда достигается возможность вывести из одной модели множество теорем, хорошо согласующихся, с опытом, т. е. применимых к реальности, так или иначе поднимает вопрос о причинах эффективности математики, ответить на который не так-то легко.
Я, с вашего позволения, попробую ответить на часть вопросов об эффективности применения математики, поставленных в вышеприведенном фрагменте. А начну с терминологии. С моей точки зрения, когда речь идет о математических построениях с использованием технологии подбора каких-то элементов, то это следует, прежде всего, называть аппроксимацией, а не моделированием физических явлений или как-то еще. Разница между понятиями моделирование и аппроксимация физических явлений заключается, опять же с моей точки зрения, в том, что при моделирование раскрывается связь между сущностью и явлением, а при аппроксимации устанавливается лишь связь между заданными или замеренными исходными условиями опыта и явлением – то есть, полученным результатом. Я занимался аппроксимацией в разных ее видах десятки лет и подозреваю, что возможности подбора постулатов – "строительных элементов" для конструирования математических конструкций – гораздо шире, чем обычно предполагается, и эта возможность по сути даже и не исследовалась.
Удачную аппроксимацию при определенных затратах времени и некоторых навыках подбора можно построить несколькими способами, исходя как из правдоподобных, так и из произвольных соображений. Таков мой личный опыт. И в этом, на мой взгляд, заключается возможный ответ на вопрос, почему математика эффективна и может работать даже в тех областях, где мы ничего не понимает относительно природы вещей. Можно ввести в подобранные уравнения, скажем, кентавров и они могут прекрасно работать в части математических манипуляций. Но честным со стороны создателя подобных построений будет сообщение о том, что кентавры – это лишь оправдавший себя в определенном отношении математический прием. В качестве исходных соотношений или "постулатов" могут служить даже мнимые объекты. Впрочем, я об этом уже сказал, но считаю не лишним присовокупить сюда и мнение Я. Мычильского (Университет Колорадо, США):
"Удивительно, но во многих ситуациях оказывается невозможным дать полезное или понятное описание физической реальности, не прибегая к использованию мнимых объектов. Даже в приложениях математики трудно различить действительное и мнимое, так как действительные модели часто строятся из мнимых компонент".
Еще раз повторюсь, что эффективное математическое описание явлений физической реальности можно построить разными, в том числе и экзотическими способами. Например в работе Казарян В.П. (МГУ) я нахожу такой фрагмент:
"Для описания процесса по Рейенбаху, возможно использование двух эквивалентных описаний: в прямом и обратном направлении времени. Обращенное описание - это то же самое описание процесса, но только сделанное на другом языке. Два языка эквивалентны, если они верифицируются (подтверждаются) теми же самыми эмпирическими фактами".
Гипотезу эквивалентных, равно эффективных математических описаний Рейенбах применяет при рассмотрении причинного и телеологического объяснения направления времени в макростатистике. Дается описание на языке L1, который использует понятие прямого обычного направления времени и понятие причинности. Затем рассматривается описание на языке L2, который использует понятие обратного направления времени и понятие цели. Два языка, L1 и L2, представляют, по мнению Рейенбаха, эквивалентные описания; каждый из них также эффективен в математическом плане, как и другой.
Как видите, с формальной по своей сути аппроксимацией можно очень далеко зайти, если не удовлетворяться только фактом эффективности математического описания, а придавать ему какой-то иной, например мистический, смысл.
Всегда ли творения мужей науки относятся к построениям, раскрывающим связь между сущностью и явлением, или это лишь аппроксимирующие описания явлений. Судите сами по тому как об этом говорит Эйнштейн:
"Физические понятия суть свободные творения человеческого разума, а не определены однозначно внешним миром, как это иногда может показаться. В нашем стремлении понять реальность мы отчасти подобны человеку, который хочет понять механизм закрытых часов. Он видит циферблат и движущиеся стрелки, даже слышит тиканье, но он не имеет средств открыть их корпус. Если он остроумен, он может нарисовать себе некую картину механизма, которая отвечала бы всему, что он наблюдает, но он никогда не может быть уверен в том, что его картина единственная, которая могла бы объяснить его наблюдения. Он никогда не будет в состоянии сравнить свою картину с реальным механизмом, и он не может даже представить себе возможность или смысл такого сравнения."
Перевожу этот фрагмент: понятия пространства и времени суть свободные творения человеческого разума, а не определены однозначно внешним миром, как это иногда может показаться, например Эйнштейну или сторонникам его теорий.
Подобные взгляды обнаруживаются и в лекции "Непостижимая эффективность математики в естественных науках", прочитанной E. Вигнером в Нью-Йоркском университете:
"...благодаря упомянутой широте применения математических представлений и тому факту, что мы не понимаем причин такой широты, мы ниоткуда не может узнать, единственна ли теория, сформулированная на языке наших математических представлений. Мы похожи на человека со связкой ключей, который, пытаясь открывать одну дверь за другой, всегда находит правильный ключ с первой или второй попытки. Это заставляет его сомневаться относительно взаимно-однозначного соответствия между ключами и замками".
Итак, согласно Сэмюэлу Батлеру: Жизнь — это искусство делать верные выводы из неверных посылок. Возможности аппроксимации позволяют успешно реализовать этот тезис в плане достижения эффективности математических приложений.