Анализ и синтез в решении проблем – это когда проблема разбивается на посильные или знакомые для решения фрагменты общей проблемы, а потом из решений фрагментов складывается общее решение всей проблемы. Это давно известный метод. Сейчас в эвристике появились и более модные термины: "Специализация - это переход от рассмотрения данного множества объектов к рассмотрению подмножества объектов исходного множества. Прибегая к специализации, мы стараемся выделить более доступную часть задачи. Специализация как эвристическая операция представляет один из видов односторонней редукции. Пусть сформулирована задача, основным объектом которой является треугольник общего вида. Если нам не удалось ее решить, то, специализируясь, мы можем рассмотреть задачу с равнобедренным треугольником или даже равносторонним. Специализация преследует цель выявить свойство на частных случаях, в которых оно должно проявляться".
Поскольку конкретные примеры использования упомянутых модных терминов как правило не приводятся, а в структуре мышления столько много разных приемов и нюансов, что трудно понять что же имеется ввиду в части содержания понятий.
По-моему, так лучше пытаться раскрывать механизмы решения проблем на конкретных примерах, а отвлеченные понятия оставить преподавателям и философам.
Я, вот, задумался над тем, как можно определить площадь правильного шестиугольника. Поскольку я не помню, как это можно сделать – геометрию изучал уже десятки лет назад, – то для меня на данный момент это все же проблема.
Первая мысль – посмотреть решение в интернете, но это слишком уж тривиально. Далее я вспоминаю, что еще в школе я находил площади фигур, через разбиение их на треугольники, площадь которых я умел определять. Итак, стратегия анализа и синтеза наметилась применительно к поставленной задаче: разложить шестиугольник на треугольники (это есть анализ), затем вычислить площадь каждого из треугольников (это решение локальных задач, выделенных посредством анализа) и, наконец, сложить известные площади треугольников и получить площадь шестиугольника (а это уже синтез).
Получилась, как видите, такая, вот, эвристическая цепочка, применяемая при решении очень многих проблем: анализ (разбиение проблемы на части) – решение локальных, выделенных анализом, задач или проблем – синтез (объединение локальных решений).
Красиво, не правда ли, когда есть не только общие слова, но и наполняющий их смыслом пример? Впрочем, присмотревшись к данной исходной проблеме, мы замечаем, что как раз-то этих локальных частей в ней и нет. Мы еще должны придумать способ как преобразовать эту исходную проблему так, чтобы в ней можно было бы выделить упомянутые локальные проблемы или задачи. Задача, оговорюсь, это тоже проблема, если мы пока не знаем как ее решить, а если знаем – то это уже задача без проблемы. Ну, а проблема преобразования исходной проблемы или проблемной задачи (назовите это как хотите) есть проблема большинства решаемых проблем, которую мы с вами постараемся решить на конкретном примере разбиения шестиугольника на более простые элементы – треугольники.
К сожалению, я не могу здесь предложить вам оптимальную стратегию разбиения шестиугольника на треугольники, так что будем действовать методом проб и ошибок, что тоже составляет весьма типичный в решении проблем элемент.
Я не буду рисовать здесь схемы, потому что пытаюсь решить эту задачу в уме, помня, что многие решаемые проблемы не удается представить в виде наглядных схем. То есть, хочу таким образом приблизить данную задачу к более типичному для большинства проблем виду.
Итак, шестиугольник можно разбить на треугольники несколькими способами. Попробуем для начала соединить концы двух соседних сторон прямой линией. Получился треугольник. Но сколько всего получится таких треугольников я своим внутренним "зрением" пока не вижу – образ шестиугольника, разбитого на треугольники расплывается в моем воображении, я его не могу четко "увидеть" и удержать в своем внимании. Это тоже проблема всех проблем – способность удержать актуальные детали проблемы в поле внимания. Но тут я пытаюсь призвать на помощь другую эвристику: выделяю то, что мне известно в данной ситуации, в которой я споткнулся. А мне известно то, что, строя треугольники, я концы двух соседних сторон шестиугольника соединил одной прямой. Далее, интуиция сама мне подсказывает простой, отработанный во многих жизненных ситуациях ход. Интуиция говорит: раз на две внешние стороны шестиугольника приходится одна добавленная "внутренняя" сторона, то получится три внутренние стороны – то есть, внутренний треугольник и три опирающиеся на его стороны треугольника, внешние по отношению к этому внутреннему треугольнику.
Вернее, так я рассуждал, когда сегодня проснулся, ощущая в голове усталость и шум. А на самом деле, сейчас я вижу описанную картину достаточно четко. И в связи с этим я обращаю ваше внимание на, может быть, самый важный в решении проблем фактор – энергетический фактор! Возможно вы читали о том, что кто-то по несколько часов ездит на велосипеде, а кто-то вообще отправляется в глушь, чтобы "очистить" свою голову и привести ее в более подходящее состояние для решения проблем.
Я поступаю по-другому. На час или на несколько часов – как потребуется – отключаю свои мысли. Этот прием требует специальной практики, но при желании он доступен любому. Далее происходит многофакторный эффект:
а) накапливается внутренняя энергия, позволяющая более четко видеть осмысливаемую проблему и ее локальные детали;
б) голова в той или иной мере очищается от неперспективного мыслительного хлама;
в) мысль работает более четко и дисциплинированно, меньше отвлекаясь на разные случайные "паразитные" мысли, не относящиеся к решению проблемы.
Правда, при этом иногда может проявиться и еще один эффект: может пропасть желание решать имевшуюся проблему, она вдруг может показаться вам не актуальной для вас, что, может быть, так оно и на самом деле есть.
Ну а то, что здесь ключевую роль может играть чисто энергетический фактор, я могу судить хотя бы потому, что подобным способом отключения мыслей я даже решаю проблемы своего здоровья, почему и жив до сих пор.
Однако вернемся к задаче. Внутренний треугольник равносторонний – это очевидно, поэтому, возможно, и все углы его равны. "Очевидно" – это способ интуитивного опознания ситуации на основе сложившего жизненного опыта. Этот же жизненный опыт мне подсказывает, что треугольник – это жесткая конструкция и если я его сделаю из реек, соединенных болтами, то углы будут зафиксированы, чего, например, не следует ожидать от подобным образом сделанного четырехугольника. То есть, опираясь на жизненный опыт, я прихожу к заключению, что внутренний треугольник равносторонний и все его углы равны между собой. В сумме, как мне помнится, три угла треугольника это всегда 2d или 180 градусов. Следовательно, каждый угол внутреннего треугольника равен 60 градусам.
Но... я ведь все равно не знаю чему равна сторона этого внутреннего треугольника и не знаю как ее выразить через известные стороны шестиугольника. Так что приходится возвращаться к началу задачи, правда уже несколько обогащенным представлением о равностороннем треугольнике, у которого обязательно должны быть равны между собой его углы.
Я ведь не случайно досаждаю вам этим болотом разных деталей. Вы ведь хотите улучшить свое понимание в части общих подходов решения проблем? Так вот, когда вы занимаетесь проблемой и много раз прокручивается разные ситуации в уме, то детали этих ситуаций постепенно становятся все более привычными и мысль на них задерживается все меньше, а вы, освободившись от некоторых препятствий, получаете больше шансов продвинуться вперед. Я, например, часто специально довожу детали до их отчетливости в своем мысленном представлении. После этого, ранее сложное становится уже более простым и мысль далее осваивает уже новый встретившийся на ее пути барьер.
В общем, решаю разбить шестиугольник на треугольники уже другим способом: соединяю конец одной его стороны с концом противоположной стороны так, чтобы соединяющая прямая прошла через центр. Поскольку сторон у шестиугольника шесть, то и внутренних треугольников получается тоже шесть. Внутренние вершины их сходятся в центре. Сумма углов этих внутренних вершин составляет, как и положено по кругу, 360 градусов, то есть на один угол вершины приходится 60 градусов.
Далее, я автоматически вспоминаю, что сумма трех углов в треугольнике равна 180 градусов, следовательно на два остальных угла приходиться 180-60=120 градусов. После некоторых рассуждений я прихожу к мысли, что эти два остальных угла должны быть одинаковыми, иными по всем признакам они и не могут быть. Значит, каждый угол треугольника равен 60 градусов и он, как подсказывает нам опыт манипулирования с треугольниками в нашем предыдущем неудавшемся варианте решения задачи, должен быть разом с этим и равносторонним.
Сторона шестиугольника, а значит и сторона равностороннего треугольника известны. Остается только применить формулу вычисления площади равностороннего треугольника и далее эти площади умножить на шесть, чтобы получить площадь всего шестиугольника.
Но вот незадача! Я не помню формулу для вычисления площади равностороннего треугольника. Приходится снова возвращаться к технологии анализа и разбивать равносторонний треугольник на какие-то более мне понятные треугольники. Это уже не сложно. Из вершины треугольника опускаем на противоположную сторону перпендикуляр и получаем из него два равных треугольника, каждый с одним прямым углом. Одна сторона (катет) этого треугольника равна половине стороны шестиугольника, а другая (гипотенуза) равна стороне шестиугольника. Квадрат гипотенузы минус квадрат катета получаем квадрат другого катета (опущенного перпендикуляра). Перемножаем катеты (их уже известные длины) и получаем площадь исходного треугольника, из которой, после ее умножения на 6, получаем искомую площадь многоугольника.
Здесь также может быть и несколько других решений. Например, такое: развернуть и совместить три шестиугольника так, чтобы они образовали подобие пчелиных сот. Затем, замечая, что мы присоединили друг к другу три тупых угла шестиугольников в сумме равных 360 градусов, находим, что угол правильного шестиугольника равен трети этой суммы, т.е. 120 градусов. И т.д. "Развернуть и совместить" – это, наверное, уже будет ближе к приемам специализации и редукции, о которых упоминалось в начале статьи. Однако пора и заканчивать эту затянувшуюся статью.
Главное, конечно, здесь не конкретное решение этой маленькой игровой проблемы, а механизмы ее решения, которые следует осмыслить и понять настолько, чтобы они подключались на сознательном и подсознательном уровнях при решении не только данной, но и других проблем.