При решении проблем очень важное значение имеет наличие готовых решений, для круга более-менее типичных задач, которые составляют или могут потенциально составлять часть решения более общих проблем. Эти готовые решения должны присутствовать в памяти в так называемом свернутом виде, чтобы наша интуиция могла их мгновенно распознать и выдать "на гора" в область осознанных действий.
О способах свертывания информации и ее опознании в предыдущей статье говорилось лишь фрагментарно. Постараюсь раскрыть эту тему более детально на примере, использовавшемся в этой предыдущей статье. Снова смотрим на приведенный в той статье фрагмент:
где требуется заполнить пустые ячейки, обозначенные символом Х, таким образом, чтобы сумма в вертикальных, горизонтальных и диагональных рядах была равна 21.
Для того чтобы в последующем мы могли опознать подобную задачу на уровне интуиции или подсознания, мы должны придать ей более абстрактный вид. Например, такой:
Здесь Ч некоторые известные числа, а Х – неизвестные числа, которые следует определить, исходя из требования, чтобы сумма в вертикальных, горизонтальных и диагональных рядах была равна 21.
Здесь задача, даже в ее абстрактном представлении, имеет некий "разовый" вид, а нам желательно расширить ее на более полное множество в том или ином смысле эквивалентных задач. То есть, задач, к которым можно применить один и тот же алгоритм. Как это делается? Например, это совершается на интуитивном уровне, когда мы решаем множество сходных задач. Но мы можем и помочь нашей интуиции путем осознанных действий. Для этого уже решенную задачу надо преобразовать разными способами, но так, чтобы она не теряла свой исходный смысл.
Обратите внимание! Я подсказываю вам очередной эвристический прием. Правда, его конкретную реализацию, годную на все случаи жизни, я вам не приведу. Но и один конкретный пример может натолкнуть вас на требуемый подход.
Итак, отвлекитесь от конкретики данного изображения в структуре текста и представьте, что перед вами вырезанный из бумаги квадрат со всеми приведенными выше конкретными или абстрактными заполнениями. Пусть даже это будут для простоты восприятия конкретное заполнение, как в исходной задаче, а квадрат из бумаги вы сделаете в натуре.
И смотрите что же получается! Вы поворачиваете квадратик на 90 градусов, вид его становится другим, т.е. повернутым, но решение этой "повернутой" задачи, очевидно для нас, не изменится лишь от того, что мы повернули квадрат. Поворачивая далее квадрат, мы получим 4 эквивалентных представления одной и той же задачи! Но и это еще не все. Мы можем перевернуть листок на другую его сторону, написать прежние числа в прежних ячейках с обратной стороны, и далее получить еще 4 варианта эквивалентных представлений исходной задачи. Итак, задача одна, но у нее 8 эквивалентных вариантов. А переходя к "абстрактному" квадратику (с Ч и Х), мы получим 8 эквивалентных представлений исходной задачи в абстрактном виде.
После некоторой тренировки мы научимся распознавать все эти 8 представлений как некий единый свернутый в нашем представлении вариант. Все это, конечно, можно реализовать и в компьютерной программе. Так что технология эта вполне конкретна. Но нам пока желательно расширить наш интуитивный багаж.
Не буду досаждать вам громоздкими рассуждениями, а предлагаю обратить внимание на тот факт, что, занимаясь поиском эквивалентных преобразований, мы совершали мысленный или предметный эксперимент. Впрочем, предметный эксперимент (когда мы поворачивали листок квадратика в натуре), тоже не обходится без мысленного эксперимента. Мысленный эксперимент, как неоднократно отмечалось в других статьях раздела, необходимый и неизбежный элемент в решении любых проблем. Так что попробуем продолжить и далее поэксплуатировать этот подаренный нам природой механизм.
Попробуйте заменить цифру 7 в центре квадрата на любую другую и попытайтесь решить задачу так, чтобы сумма в вертикальных, горизонтальных и диагональных рядах была равна по-прежнему 21. Методом проб, т.е. в мысленным эксперименте, вы убедитесь, что подобное решение просто не возможно – в центре должно быть только число 7. Тогда наш образ задачи получится несколько скорректированным:
со всеми, разумеется, оговоренными выше эквивалентными преобразованиями.
Поэкспериментировав с исходной задачей, вы найдете еще несколько новых свойств. Например, методом перебора разных вариантов задания исходных чисел вы определите, что для получения однозначного решения задачи достаточно задать только два не диагональных (не расположенных на одной диагонали) числа. Это при условии, что в центральной ячейке должно быть уже известное число 7.
Таким образом, мы можем существенно расширить класс подобных задач и общее представление об этих задачах, что может пригодиться, если подобного рода задачи встретятся в структуре других, более общих, проблем. Но все же, нас, пожалуй, здесь волнует вопрос: а что же это за такое магическое число 7?
Здесь можно применить еще одну, хотя и весьма расплывчатую эвристику: чтобы разобраться в задаче, надо попытаться произвести над ней какие-то простые эксперименты и посмотреть, как задача будет при этом себя вести. Если мы придумаем такие простые эксперименты, то тогда в самый раз нам пригодится эвристическое указание мудрейшего из философов Козьмы Пруткова: "Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые, иначе такое занятие будет пустою забавою".
Итак, простейший вариант: прибавим к решенной исходной задаче по 1 в каждую ячейку и посмотрим на "круги" – на то, что при этом изменилось:
Как в общем-то и следовало ожидать, сумма в вертикальных, горизонтальных и диагональных рядах стала равной 24. Теперь, после этого эксперимента, уже не трудно заметить, что более общее требование задачи сводится к тому, чтобы сумма в вертикальных, горизонтальных и диагональных рядах была равна значению числа в центральной ячейке, умноженному на 3.
Итак, класс решаемых задач в результате наших экспериментов расширился многократно, и это может пригодиться, если такой класс задач возникнет в структуре решаемых нами проблем.
Конечно, профессиональный математик с нашим классом задач разобрался бы по-другому, да и, скорее всего, подобные задачи для него уже не новы. Но в решении проблем важно знать не только то, что уже известно, но и общие, в том числе эвристические, приемы решения проблем. Эвристические приемы, правда, преимущественно спрятаны в нашем подсознании, но, осваивая общие приемы, мы может открывать эвристику в более явном виде и даже пополнять полезными приемами решения проблем наш интуитивный, он же подсознательный, багаж.
В данном случае, мы рассматривали идею или эвристику расширения класса решаемых задач за счет использования простого эксперимента над задачей, которая уже решена.