Любое развитие, согласно диалектике, протекает по закону единства и борьбы противоположностей или, проще сказать, через преодоление противоречий. Чтобы познать истину, необходимо, согласно Сократу, преодолеть противоречие. Решение проблем с преодолением неизбежно возникающих ошибок, в этом плане – не исключение. Когда новые факты вступают в противоречие с развиваемой концепцией, то логика мысли теми или иными путями устраняет ошибку и разрешает это противоречие, и при этом всегда в пользу требований новых фактов. Их осмысление ведет к построению новой или уточненной концепции и, в конечном счете, к решению проблем.
Мысль, первоначально, ищет самых легких путей для своего быстрого развития, но если не помнить о необходимости учета противоречий, то быстро попадает в тупик. Как, например, в задаче Рольфа Добелли из книги Территория заблуждений: теннисная ракетка и теннисный мяч стоят вместе 1,10 евро. Теннисная ракетка стоит на 1 евро дороже, чем мячик. Сколько стоит теннисный мячик? Если вы ответили "10 центов", то вы попали в ментальный тупик, не учтя противоречия: 100-10=90, а не 100! Правильный ответ, снимающий противоречие – 5 центов.
При решении задач судоку этот фактор ошибки неучета противоречий проявляется наиболее наглядно. Во всяком случае, я многократно замечал его действие на самом себе. Чем напряженнее мысль, тем труднее заметить противоречие. Как же! после столь упорных усилий я наконец вижу признаки выхода из тупика столь отчетливо, что и каких-либо сомнений относительно этого выхода не может быть! А потом оказывается, что я просто сделал случайный выбор – когда удачный, а когда и нет. Особенно легко попасть в ментальную ловушку, когда уже знаешь конечный ответ. На форумах по судоку, куда стал заглядывать последнее время, я подобное замечал неоднократно. Скажем, товарищ объявляет, что он нашел логическое решение задачи Арто Инкала и сообщает как он этого достиг, но не замечает, что он просто сделал один из возможных выборов, который оказался удачным в силу того, что товарищ уже знал, каким этот удачный выбор должен был бы быть.
Ну и со мной тоже случилось нечто подобное. Я в предыдущей статье показал, как можно решить задачу Арто Инкала "логическим" путем. Но, посетив форум, я понял, что в своем решении я исходил из недоказанного мною предположения относительно структуры задачи Арто Инкала. Эта структура заключается в том, что тройка пар цифр вращается по трем строкам (или трем столбцам) в одном направлении, а тройка одиночек – в противоположном. Но может быть и иная, более простая, ситуация: вращаются лишь три триплета (тройки цифр), т.е. без асинхронных им одиночек.
Так что каюсь: задачу Арто Инкала "логическим" путем я не решил. Но если вам не интересны мои покаяния, то можете прочесть эту статью ради того, чтобы пополнить свой арсенал средствами решения судоку, которые я ранее не приводил.
Первое, что я сделал в процессе подготовки этой статьи, я подставил триплеты в задачу Арто Инкала там, где это оказалось возможным и не сложным согласовать с исходной задачей, и через некоторое количество минут получил обычными простыми средствами решения судоку без возвратов, предположений и переборов отрицательный результат, чем подтвердил мою первоначальную "гипотезу" о структуре задачи. Подтвердил, правда, не полностью, но вполне достаточной мере для того, чтобы продолжить решение задачи так, как я описал это в своей предыдущей статье.
Чтобы это показать, следует в очередной раз вернуться к рабочей таблице задачи Арто Инкала:
Черным и более крупным шрифтом выделены ключи, заданные исходной задаче, а рабочая таблица, напомню, создается заполнением пустых клеток числами 123456789 с последующим "вычеркиванием" т.е. удалением обычными простыми средствами, лишних цифр.
Здесь я сначала обнаружил достаточно простым анализом, что со строками 4,5,6 исходной задачи может согласовываться только триплет (3+7+9), после подстановки которого выяснились и остальные два триплета: (4+2+6) и (5+1+8):
а далее, продолжив обработку этой таблицы обычными, простыми средствами решения судоку, вышел на противоречащий условию задачи вариант.
Аналогичным образом, вернувшись к предыдущему варианту рабочей таблицы, я обратил внимание на то, что с ней в столбцах ABC может согласовываться только триплет (5+1+х). Подставив известную часть этого триплета и следствия из этой подстановки, я получил тройку вертикальных триплетов (5+1+9), (6+8+3) и (7+4+2), после чего посредством простых методов снова выше на отрицательный (не согласующийся с триплетами) результат. Ну а далее, как я уже сказал, мог бы продолжить решение задачи так, как было описано в предыдущей статье.
Вы скажете, что это не логическое разрешение противоречия (неопределенности с наличием или отсутствием триплетов), а исследование задачи довольно сложным путем? Ну, это уже вопрос о том, как об этом судить. Чемпион мира по судоку видимо смог бы усмотреть полученный мною отрицательный результат относительно триплетов чисто умозрительно, так что для него было бы логичным не искать решения задачи по явно неприемлемому варианту. Опять же, в многократно представленных в интернете "базовых" средствах решения задач судоку описываются способы типа "рыба-меч", в которых тоже предполагается исследование задачи методом обхода контуров, в которых обнаруживается лишняя цифра, удаляемая при любом из двух вариантов подстановки других цифр.
Тем не менее, я согласен с вашим возражением, если оно есть и даже если его нет, но предупреждаю, что очень простых решений сложных задач я не знаю, поэтому вынужден буду делать какие-то промежуточные выводы на основе некоторых серий шагов, которые может совершить не только чемпион мира по судоку, но и обычный, хотя и тренированный должным образом человек.
Итак, в очередной раз возвращаемся к рабочей таблице задачи Арто Инкала. Здесь мы имеем ситуацию:
В6=9>EFG6=146>A6-7
B6=5 asinx C6=3>A6-7
Читается она так: Если в В6 подставить В6=9, то в ячейках E6, F6 и G6 возникнет "голая" тройка трех цифр 1, 4 и 6, что приведет к результату A6=7. Это потому, что в В6=67 будет удалена цифра 6. Если подставим B6=5, то имеем асинхронное (не триплет) вращение цифр 5 и 3, чему по правилам вращения может отвечать только ситуация A6=7. В любом из этих двух альтернативных (взаимоисключающих) вариантов имеем A6=7. Подставим это в таблицу и обработаем обычным способом:
Следующий прием посложнее, но его все же можно просмотреть умозрительно. Но вы можете проверить его и с компьютером. В столбцах ABC возможны два варианта: триплет (7+4+2) и, как альтернатива ему, не триплеты (7+4)+1 или (7+4)+2 – см. по ячейкам С7, С8 и С9. Еще, на первый взгляд кажутся возможными (7+2)+4 и (2+4)+7, но они возвращают к триплету (7+4+2). Так что остаются лишь три допустимых варианта подстановок в ABC: либо (7+4+2), либо (7+4)+1, либо (7+4)+2. В любом из этих трех возможных вариантов получим ситуацию С5=8 и цифру 9, остающуюся только в правом столбце блока 1. Подставим этот результат и после обычной обработки таблицы получим:
Далее продолжаем совмещать исследование и решение задачи. По сути, то же происходит и при решении самых простых задач судоку.
Если предположить, что в строках 123 триплеты, то в блоке 1 цифра 2 может находиться в AC3, тогда B1=4>B2-3>B123-734, т.е. имеем асинхронное (не триплетное) вращение в столбцах ABC.
Кроме того, В2=3, не может быть синхронна С1=5. Так что строки 123 - не триплеты. В столбцах DEF тоже не получаются триплеты.
Столбцы GHI также не триплеты:
G3=5 sinx G4=3>H5-5>(5+8)>I89-58>I789-589>H4-9>G5-2>уничтожение 2 в блоке 9 (правый нижний блок).
Итак: 123, DEF, GHI - не триплеты
Далее, если в строках 456 триплеты, то (7+9+3)+(5+1+8)>D4-1
Если не триплеты, то в блоках 4-6 возможны пары (3+7) и (3+9). При этом, если (3+9), то получится недопустимый для предполагаемого здесь нетриплетного вращения триплет (3+7+9), так что имеем выявленную пару (7+3).
Следующий фрагмент исследования нетриплетного вращения уже рассматривался в предыдущей статье, но я его напомню: допустимые варианты в ячейках ABC5: (2+1)+8, (2+1)+9, (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1)+2. Пара (2+1) asinx (7+3)>/(2+1) - т.е. (2+1) не вращается синхронно (7+3) поэтому вариант вращения (2+1) исключается. Остаются допустимые сочетания: (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1)+2.
В любом случае этих сочетаний результатом будет D4=1. Такой же результат (см. чуть выше) имеем и для триплетного вращения. Поставим D4=1 в таблицу и обработаем ее обычным способом:
Если в строке 6 предполагаем триплет (7+9+3), то G6-14. Если не триплет, то 6 тогда должна быть параобразующей в блоках 4-6.
Но (6+4) нет в списке допустимых пар.
Следовательно, 4 asinx 6 >D5-4>E6-9>G6-14. В любом случае G6/9 и GH5/4>D5-4 (исключаются 9 из G6 и 4 из G5 иH5 и устанавливается D5-4), а это для строк 456 есть вариант асинхронного вращения 456>E6-9>GH1-9>G2_H3/9.
Если у вас что-то не получается, не расстраивайтесь. Модель вращения цифр совсем не проста для первоначального восприятия. Но поработав с ней с недельку и упорно, и, заодно, проработав примеры в предыдущих статьях – все образуется по принципу перехода от простого к сложному. А пока что будем считать выявленным результат D5=4, подставим его и обработаем (обычным путем) таблицу:
Далее рассмотрим вращение в столбцах GHI. Здесь возможны два варианта: G4=3 и H5=5 – параобразующие, или G4=3 и H5=5 – непараобразующие "одиночки". В первом варианте предварительно возможны (5+8)+9 и (5+9)+8, но (5+9)+8 не сможет расположиться в ячейках G123, так что остается (5+8)+9. Покажем к чему он приведет:
Если G4=3 и H5=5 одиночки, то в качестве допустимых возможны сочетания (9+1)+3, (9+4)+3, (4+2)+3, (7+8)+5 и (8+9)+5. Далее, если примем H4=9, то возникает недопустимая для приведенных сочетаний пара (9+5). Так что устанавливаем G5=9 и посмотрим к чему это приведет:
В любом из двух рассмотренных альтернативных вариантов имеем совпадения: G5=9, H4=7, I4=2, что, после подстановки в таблицу и обычной ее обработки, приводит к виду:
Цифры 5 и 7 в столбцах GHI явно асинхронны, так что здесь асинхронное (не триплетное) вращение.
Предполагаемые, как вариант, триплеты в строках 123 согласуются с ячейками ABC3 и DEF1, где возникает сочетание 7+3+2, но не согласуется GHI2, где такое сочетание не возможно. Так что в 123 – имеем асинхронное вращение (без триплетов).
Аналогичным образом можно разобраться и со столбцами ABC, но проделать умозрительно это будет уже сложнее. Покажем что получится, если подставить триплеты в ABC и удалить в таблице очевидные лишние цифры:
В столбце E появились две несовместимые с задачей четверки, так что в ABC мы тоже имеем асинхронное вращение.
Можно было бы и далее продолжить подобный анализ. Но, дойдя до этой точки, я попросту подставил в В9 два возможных варианта: В9=2 и В9=1, и быстро завершил решение задачи с помощью обычных "базовых", причем простейших, средств:
Потратив еще эдак полдня на свежую голову, я, пожалуй, смог бы завершить и этот остаток задачи чисто "логическим" путем, без опробования варианта В9=2. Но если вам это интересно, вы можете проделать это за меня. А моя задача все же несколько иная: показать общие подходы к решению проблем, где судоку лишь подходящий для этого пример.
Ну а теперь, чтобы отвлечься от многотрудных выкладок по судоку, которые лично мне уже несколько поднадоели, вернемся к теме противоречий и ошибок, заявленной в начале этой статьи.
Наиболее продвинутые философы в области диалектического материализма определили, что в единстве и борьбе противоположностей единство – постоянный, а борьба противоположностей – лишь временный фактор.
Но это как сказать... Всем разумно мыслящим существам известно противоречие между реальностью и специальной теорией относительности по Эйнштейну. В какой мере это противоречие можно считать временным, если оно удерживается в сознании ряда представителей ученого мира уже пару веков – это еще вопрос. Правда, сам поздний Эйнштейн по этому поводу показал свой недвусмысленно высунутый язык. И надпись к фотографии соответствующую добавил. Но дальтоники, ведь, цветов не различают. Потому они и не видят противоречий даже тех, на которые указал Эйнштейн: СТО применима лишь для инерционных систем. А инерционные системы у физиков-теоретиков – это системы, не подверженные действию внешних сил. То есть, это системы, которых в природе нет.
Нет еще, к сожалению, нового Канта, который бы разобрался с этой грудой "дурно приложенных усилий", хотел бы я сказать. Но впал бы в ошибку. Такие "канты", пожалуй, есть. Они четко определили критерии, которым должна удовлетворять научная теория, только, вот, к СТО и прочим теориям струн "стесняются" применить: могут получить по шапке от власть имущего "научного" клана и лишиться необходимых им благ.
Так вот, одно из твердо определенных и ключевых требований к научной теории – это ее "фальсифицируемость", т.е. принципиальная возможность ее опровергать. Если мы сталкиваемся с утверждениями, которые в принципе не подлежат никакому опровержению, то считать его реалистичным, достоверным или соответствующим чему-то фактическому у нас, согласно указанному фундаментальному правилу фальсифицируемости, нет оснований.
Так, например, если я объявлю о том, что в далеком созвездии Тау Кита обитают разумные существа, то опровергнуть такое утверждение не возможно. Как, впрочем, и его подтвердить, не смотря на весьма авторитетные свидетельства Владимира Высоцкого. Подобным же образом, нельзя ни опровергнуть ни подтвердить "выводы" сторонников СТО о том, что в каждой точке мироздания имеются собственные, местные время, пространство и вообще своя местная реальность (иначе скорость света не могла бы оставаться постоянной относительно всех движущихся в разных направлениях объектов). Но по критерию фальсифицируемости такая теория не является научной, хотя об этом на уровне "официальной" науки запрещено говорить.
Или взять разные, там, неевклидовы геометрии. О них тоже нельзя худо говорить, потому что теория относительности включила их в свой арсенал. А в этих неевклидовых геометриях параллельные прямые пересекаются в бесконечности и, возможно, совершают там, вне доступного для нас мира, разные прочие чудеса. Но бесконечность для нас не есть нечто фальсифицируемое. Если параллельные прямые и пересекаются где-то в созвездии Тау Кита, то мы никак не можем об этом разузнать. С параллельными прямыми, не пересекающимися в бесконечности, дело обстоит аналогично. Но здесь этот постулат можно (и, видимо, нужно) заменить на более для нас доступный: параллельные прямые не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали. Именно так: в доступном для нас мире параллельные прямые не пересекаются!
Ну а математический аппарат, будучи сотворенным, может работать по собственным законам. Работает же он с мнимыми числами, подобия которым нет в природе, так почему бы ему не поработать и с "пересекающимися" параллельными прямыми. Те результаты, которые можно получить с использованием мнимых чисел, можно, хотя и с меньшими удобствами, получить и без них. Так что вопрос в удобстве использования того или иного математического аппарата, а не в том, что человеческая выдумка может заменить собой реальность или назначить, какой ей следует быть.
Успехов, вам, в судоку и в решении научных и прочих проблем!
P.S. Тот, кто попытается решить задачу Арто Инкала или задачу подобной сложности, имеет полную возможность прочувствовать на себе суть массовой ошибки, которую мы в своей жизни совершаем ежедневно и даже ежечасно. Мысль всегда движется по пути наименьшего сопротивления, экономя свои ресурсы. И когда после проверок нескольких, не поддающихся легкому осмыслению, условий замечаешь, что все уже сходится, то возникает очень четкое впечатление, что найденное решение или объяснение – это и сесть истина, и более проверять ничего не требуется. Это ощущение "вмонтировано" в нас едва ли не на уровне инстинкта, поэтому очень непросто ему противостоять и не впадать непроизвольно в ошибку, которая в науке известна как ошибка нарушения Закона достаточного основания и, в частности, как "предвосхищение" основания. Именно так! Потратив свои умственные усилия и увидев свет в конце тоннеля, в особенности если этот "свет" ожидаем (в судоку "свет" – это, например, подсказка в виде уже известного решения), так и хочется воскликнуть "Эврика!" и – упустить другой незамеченный вариант, без чего "Эврика" есть решение без достаточного основания, которое может оказаться удачным, но и может привести к негативным последствиям.